ماشین حساب


هر معادله‌ای که در آن مجهول در توان قرار گرفته باشد را معادله توانی یا نمایی می‌گویند. برای حل این معادلات ابتدا باید با مفهوم توان و خواص آن آشنا باشید.

معادلات توانی را می‌توان به دو دسته تقسیم کرد:

معادلاتی که در آنها پایه دو طرف معادله برابر است.
معادلاتی که در آنها پایه دو طرف معادله برابر نیست
حالت اول ساده‌تر از حالت دوم است و در کلاس‌های نهم یا پایین‌تر به دانش‌آموزان تدریس می‌شود. اما حل معادله نمایی حالت دوم نیازمند آشنایی با مفهوم لگاریتم است.

در این نوشتار، نحوه حل هر دو نوع معادله با مثال شرح داده می‌شود.

حل معادله توانی با پایه‌های برابر
همان‌طور که از عنوان مشخص است، در اینجا پایه‌ی عبارت سمت راست معادله با پایه عبارت سمت چپ معادله برابر است.

هر گاه در یک معادله نمایی، پایه‌های دو طرف برابر باشند، آنگاه باید توانها هم برابر باشند.

a^{x}=a^{y} \rightarrow x=y \; \; \; a \neq 0

در زمان حل معادلات نمایی باید تا حد ممکن طرفین را ساده کنیم تا یک عبارت توانی در سمت راست و یک عبارت توانی در سمت چپ وجود داشته باشد.

مثال: معادله 3^{x-1}=81 را حل کنید.

3^{x-1}=81 \rightarrow 3^{x-1}=3^{4} \rightarrow x-1=4 \rightarrow x=5

 

مثال: معادله 0.25^{x}=4^{3x-2} را حل کنید.

0.25^{x}=4^{3x-2} \rightarrow (\frac{1}{4})^{x}=4^{3x-2} \rightarrow 4^{-x}=4^{3x-2} \rightarrow -x=3x-2 \rightarrow x=\frac{1}{2}

 

مثال: معادله 4^{3x}=8^{x-1} را حل کنید.

4^{3x}=8^{x-1} \rightarrow (2^{2})^{3x}=(2^{3})^{x-1} \rightarrow 2^{6x}=2^{3x-3} \rightarrow 6x=3x-3 \rightarrow x=-1

 

مثال: معادله 9^{\sqrt{x}+1}+3^{1-2\sqrt{x}}=28 زیر را حل کنید.

9^{\sqrt{x}+1}+3^{1-2\sqrt{x}}=28 \rightarrow (3^{2})^{\sqrt{x}+1}+3^{1-2\sqrt{x}}=28  \rightarrow 3^{2\sqrt{x}+2}+3^{1-2\sqrt{x}}=28 \rightarrow 9 \times 3^{2\sqrt{x}}+3 \times 3^{-2\sqrt{x}}=28

در اینجا طرفین را در 3^{2\sqrt{x}} ضرب می‌کنیم تا توان منفی از بین برود و داریم:

9 \times 3^{4\sqrt{x}}+3=28 \times 3^{2\sqrt{x}}

حال تغییر متغیر می‌دهیم. قرار می‌دهیم 3^{2\sqrt{x}}=t تا یک معادله درجه دوم به دست بیاید.

9t^{2}-28t+3=0 \rightarrow t=\frac{1}{9} \; \; t=3

عبارت 3^{2 \sqrt{x}}= \frac{1}{9} غیر قابل قبول است. زیرا برای کسری شدن باید توان منفی باشد و رادیکال هیچ‌گاه منفی نمی‌شود. پس داریم:

3^{2\sqrt{x}}=3 \rightarrow 2\sqrt{x}=1 \rightarrow x=\frac{1}{4}

 

 

حل معادله نمایی با پایه‌های نابرابر
زمانی که پایه‌ها نابرابر باشند، دو راه وجود دارد. ابتدا می‌توان فرض کرد که توان هر دو طرف برابر صفر است. زیرا هر عدد به توان صفر برابر یک است. اگر توان هر دو طرف صفر باشد، آنگاه طرفین هر دو برابر یک می‌‌شوند.

مثال: معادله 4^{x-2}=5^{x^{2}-2x}

باید همزمان عبارت x-2 و x^{2}-2x برابر صفر شوند. جواب x=2 این شرط را ارضا می‌کند. پس جواب این معادله است.

مسأله اینجاست که باید به یک جواب مشترک برای هر دو طرف برسیم. یعنی یک عدد که توان هر دو طرف را صفر کند. حال اگر چنین نشد، چه؟ آیا معادله جواب ندارد؟

پاسخ اینست که روش بالا یک راه‌حل کلی برای معادلات توانی با پایه‌های نابرابر نیست. برای حل معادلات نمایی با پایه‌های نابرابر، باید از طرفین لگاریتم بگیریم تا معادله تبدیل به معادله خطی شود.

طبق خواص لگاریتم می‌دانیم که :

ln a^{y} = y lna

در اینجا ما همواره از طرفین لگاریتم طبیعی می‌گیریم ولی سایر پایه‌ها هم قابل قبول است.

مثال: معادله 2^{x}=9 را حل کنید.

2^{x}=9 \rightarrow ln(2^{x})=ln9 \rightarrow xln2=ln9 \rightarrow x=\frac{ln9}{ln2}

جواب به صورت تقسیم دو مقدار تابع لگاریتم طبیعی به دست آمد. می‌توان به صورت تقریبی مقدار آن را هم به دست آورد.

 

مثال: معادله 2^{4x-1}-3^{x}=0 را حل کنید.

2^{4x-1}=3^{x} \rightarrow ln(2^{4x-1})=ln(3^{x}) \rightarrow (4x-1)ln2=xln3 \rightarrow x = -\frac{ln2}{4ln2-ln3}

 

مثال: معادله 4^{x+2}+4^{x+1}+4^{x-1}=3^{x+3}+3^{x+2} را حل کنید.

4^{x+2}+4^{x+1}+4^{x-1}=3^{x+3}+3^{x+2} \rightarrow 16 \times 4^{x}+4 \times 4^{x}+\frac{1}{4} \times 4^{x}=27 \times 3^{x}+9 \times 3^{x} \rightarrow 4^{x} \times (16+4+\frac{1}{4})=3^{x} \times (27+9) \rightarrow \frac{81}{4} \times 4^{x}=36 \times 3^{x} \rightarrow (\frac{4}{3})^{x}=(\frac{4}{3})^{2} \rightarrow x=2